Kompleksni brojevi , u tradicionalnom smislu riječi, nisu brojevi koji se koriste u brojanju i mjerenju, već matematički objekti koji su definirani svojstvima prikazanim u nastavku.
Koristite 3 oblika kompleksnog broja: algebarski, eksponencijalni, trigonometrijski.
Kompleksni brojevi označeni su izrazom ω + νi, gdje su ω i ν stvarni, a simbol i , određen uvjetom i 2 - 1 - jedinica je imaginarna.
Prema tome, kompleksni broj ω + νi podijeljen je na stvarne i imaginarne dijelove. Radi jednostavnosti, ona je prikazana u jednom slovu (na primjer, η ): η = ω + νi .
Dijelovi kompleksnog broja η = ω + νi , stvarni i imaginarni, označeni su ω = Reη, ν = Itη .
Složeni brojevi smatraju se jednakima kada su njihovi stvarni i imaginarni dijelovi ekvivalentni. Smatra se da je kompleksni broj jednak nuli ako su njegovi dijelovi, stvarni i imaginarni, jednaki nuli.
dodatak
Zbroj složenih brojeva je kompleksan broj, čiji je stvarni dio ekvivalent zbroja stvarnih dijelova, a imaginarni jednak zbroju imaginarnih dijelova:
η = (ω 1 + ω 2 ) + (ν 1 + ν 2 ) i.
Rečeno je da smo među kompleksom η stekli kao rezultat dodavanja brojeva kompleksa :
η = η 1 + η 2.
Kompleks η 1 i η 2 nazivaju se pojmovima.
Zakoni postupka dodavanja:
1) zakon asocijativnosti;
2) zakon o komutativnosti ,
Kompleksno -bi-bi se naziva suprotnim ω + νi kompleksnim brojem. Zbroj suprotnih kompleksnih brojeva je nula.
razlika
Razlika između kompleksnih brojeva naziva se kompleksni broj η jednak zbroju broja η 1 i broja nasuprot η 2 :
η = η 1 + (- η 2 ) = (ω 1 -ω 2 ) + (ν 1 -ν 2 ) i.
Za broj kompleksa η rečeno je da je dobiven oduzimanjem η 2 i η 1 (kompleksni brojevi), te je zapisano:
η = η 2 -η 1 .
proizvod
Proizvod složenih brojeva je kompleksan broj:
η = (ω 1 ω 2 -ν 1 ν 2 ) + (ω 1 ν 1 + ω 2 ν 1 ) i.
Za broj kompleksa η rečeno je da je dobiven množenjem η 1 s η 2 (brojevi η 1 i η 2 su složeni) i pišu:
η = η 1 η 2 .
Kompleks η 1 i η 2 nazivaju se množitelji.
Zakoni množenja kompleksnih brojeva:
1) zakon asocijativnosti ;
2) zakon o komutativnosti ,
podjela
Posebni kompleksni brojevi nazivaju se kompleksnim η takvim da η 1 = η 1: η 2 ( η2 0 ) . Privatni kompleksni brojevi izračunavaju se po formuli:
η = (ω 1 ω 2 -ν 1 ν 2 ) / (ω 2 + ν 2 ) + (ω 1 ν 1 + ω 2 ν 1 ) i / (ω 2 + ν 2 ).
Za broj η se kaže da je dobiven dijeljenjem η 1 s η 2 , te je zapisano:
η = η 1 / η 2 ,
Dodavanje i množenje kompleksnih brojeva povezano je pravilom koje se naziva zakon distribucije u vezi s zbrajanjem .
Također koristite drugi oblik snimanja složenih brojeva, koji se naziva trigonometrijski.
Kompleksni broj ω + νi može se napisati kao:
η = k (cosβ + isinβ), gdje je k 2 = ω 2 + ν 2 .
Ovaj izraz je oblik snimanja kompleksnih brojeva, koji se naziva trigonometrijski. Modul kompleksnog broja je stvarni broj k , a kut β , izmjeren u radijanima, je njegov argument.
Ako kompleksni broj nije nula, tada je njegov modul pozitivan; ako je η = 0 , drugim riječima, ω = ν = 0 , tada je njegov modul jednak nuli. Modul je definiran jedinstveno.
Produkt trigonometrijskih kompleksnih brojeva je modul kompleksnog broja, koji je ekvivalentan proizvodu faktora, odnosno njihovih modula, a argument je jednak zbroju argumenata faktora:
η 1 η 2 = k 1 k 2 [cos (β 1 + β 2 ) + isin (β 1 + β 2 )].
Privatni trigonometrijski kompleksni brojevi, koji nisu nula, je kompleksan broj, čiji je modul ekvivalentan djelomičnoj dividendi i djelitelju (njihovih modula), a argument je jednak razlici argumenata dividende i djelitelja:
η 1 / η 2 = k 1 / k 2 [cos (p 1 -p2) + isin (p 1- p 2 )].
U matematici, n-ta snaga kompleksa η je kompleks w koji se nalazi kao rezultat množenja η kompleksa n puta po sebi: w = ηη ... η .
Obično se koristi kraći unos:
w = η n ,
u kojoj je broj η osnova stupnja, a n (prirodni broj) je eksponent.
N-ta snaga η (kompleksni broj), koja je dana u trigonometrijskom obliku, izračunava se po formuli:
η n = k n (cosnβ + isinnβ).
Ova formula se zove formula Moivre.