Neke informacije o kocki i kako izračunati površinu kocke

Kocka je nevjerojatna figura. Isto je na svim stranama. Bilo koje njegovo lice može odmah postati baza ili strana. A to neće ništa promijeniti. I formule za to uvijek se lako pamte. I bez obzira što trebate pronaći - volumen ili površina kocke. U potonjem slučaju, čak i ne morate učiti nešto novo. Dovoljno je samo zapamtiti formulu kvadratnog kvadrata.

Što je to područje?

Ta se vrijednost obično označava latiničnim slovom S. To vrijedi za školske predmete, kao što su fizika i matematika. Mjeri se u kvadratnim jedinicama duljine. Sve ovisi o podacima u vrijednostima problema. To mogu biti kvadratni mm, cm, m ili km. Postoje i slučajevi kada jedinice nisu ni naznačene. To je jednostavno brojčani izraz područja bez imena.

Što je to područje? To je količina koja je numerička karakteristika dotičnog tijela ili tijela volumena. Pokazuje veličinu njegove površine, koja je ograničena bočnim stranama slike.

Koji oblik se zove kocka?

Ova brojka je poliedar. I nije lako. On je u pravu, tj. Ima sve elemente koji su jednaki jedni drugima. Bilo da su strane ili rubovi. Svaka površina kocke je kvadrat.

Drugo ime za kocku je pravilan heksaedron, ako je na ruskom, onda šesterokut. Može se formirati iz četverokutne prizme ili paralelopipeda. Podložno uvjetima kada su svi rubovi jednaki i kutovi čine 90 stupnjeva.

Ta je figura toliko skladna da se često koristi u svakodnevnom životu. Na primjer, prve igračke dječaka su kocke. A zabava za one koji su stariji je Rubikova kocka.

Kako je kocka povezana s drugim oblicima i tijelima?

Ako nacrtate dio kocke koja prolazi kroz njegova tri lica, to će imati vrsta trokuta. Kako se udaljenost od vrha povećava, odjeljak će se povećati. Doći će trenutak kada će se 4 lica presjeći, a lik u odjeljku će postati četverokut. Ako držite dio kroz sredinu kocke tako da je okomit na njegove glavne dijagonale, dobivate pravilan šesterokut.

Unutar kocke možete nacrtati tetraedar (trokutasta piramida). Za vrh tetraedra uzima se jedan od njegovih uglova. Preostala tri se poklapaju s vrhovima koji leže na suprotnim krajevima rubova odabranog kuta kocke.

U nju možete upisati oktaedar (konveksni regularni poliedar koji izgleda kao dvije povezane piramide). Da biste to učinili, pronađite središta svih strana kocke. Oni će biti vrhovi oktaedra.

Inverzna operacija je također moguća, tj. Unutar oktaedra je stvarno moguće ući u kocku. Tek će sada središta lica prvog postati vrhovi drugog.

Metoda 1: Izračunajte površinu kocke njezinim rubom

Da bi se izračunala ukupna površina kocke, potrebno je poznavanje jednog od njegovih elemenata. Najlakši način da se riješi je kada je njegov rub poznat ili, drugim riječima, strana kvadrata od koje se sastoji. Obično je ova vrijednost označena s latinskim slovom "a".

Sada se moramo sjetiti formule po kojoj se kvadrat izračunava. Kako se ne bi zbunilo, njezina oznaka je uvedena slovom S ₁ .

Za praktičnost, bolje je dodijeliti brojeve svim formulama. Ovo će biti prvi.

Ali ovo je samo jedan kvadrat. Ima ih šest: 4 sa strane i 2 na dnu i na vrhu. Tada se površina kocke izračunava slijedećom formulom: S = 6 * a ² . Broj joj je 2.

Metoda 2: Kako izračunati područje, ako znate volumen tijela

Ova metoda se svodi na brojanje duljine ruba na poznati volumen. Zatim upotrijebite dobro poznatu formulu koja je ovdje označena brojem 2.

Iz matematičkog izraza za volumen heksaedra može se izvesti onaj kojim se može izračunati duljina ruba. Evo ga:

Brojanje se nastavlja i ovdje je broj 3.

Sada se može izračunati i zamijeniti u drugu formulu. Ako djelujemo u skladu s normama matematike, tada moramo izvesti sljedeći izraz:

To je formula za područje cijele površine kocke, koja se može koristiti ako je volumen poznat. Ovaj broj zapisa je 4.

Metoda 3: izračunavanje površine na dijagonali kocke

Da biste izračunali površinu cijele površine kocke, također trebate nacrtati rub kroz poznatu dijagonalu. Ona koristi formulu za glavni dijagonalni heksaedron:

To je formula broj 5.

Iz njega je lako izvesti izraz za rub kocke:

Ovo je šesta formula. Nakon izračunavanja, možete ponovno koristiti formulu ispod drugog broja. Ali bolje je ovo napisati:

Ispostavlja se da je broj 7. Ako bolje pogledate, možete vidjeti da je ova posljednja formula prikladnija od faznog izračuna.

Metoda 4: Kako upotrijebiti radijus upisane ili opisne kružnice za izračun površine kocke

Ako označimo polumjer kružnice opisane oko heksaedra slovom R, tada će se površina kocke lako izračunati pomoću sljedeće formule:

Njegov serijski broj je 8. Lako se dobiva zbog činjenice da se promjer kruga u potpunosti podudara s glavnom dijagonalom.

Označavajući radijus upisane kružnice s latiničnim slovom r, možete dobiti sljedeću formulu za područje cijele površine heksaedra:

To je formula broj 9.

Nekoliko riječi o bočnoj površini heksaedra

Ako problem zahtijeva pronalaženje područja bočne površine kocke, tada morate koristiti već opisanu tehniku. Kad je rub tijela već dan, tada se kvadrat kvadrata mora pomnožiti s 4. Ova se brojka pojavila jer postoje samo 4 bočne strane kocke.

Njen broj je 10. Ako su dane neke druge vrijednosti, učinite isto kao i gore opisane metode.

Primjeri zadataka

Stanje prvog. Poznata površina kocke. To je 200 cm². Potrebno je izračunati glavnu dijagonalu kocke.

Odluka.

1 način. Potrebno je koristiti formulu koja je označena brojem 2. Iz nje će biti jednostavno zaključiti "i". Ova oznaka matematike će izgledati kvadratni korijen od djelomičnog jednakog S do 6. Nakon zamjene brojeva dobivamo:

a = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 (3 (cm).

Peta formula omogućuje vam da odmah izračunate glavnu dijagonalu kocke. Da biste to učinili, vrijednost ruba trebate pomnožiti s .3. Jednostavno je. Odgovor je da je dijagonala 10 cm.

2 način. U slučaju da je formula za dijagonalu zaboravljena, ali se sjećam Pitagorejskog teorema.

Na isti način kao u prvoj metodi, pronađite rub. Zatim morate dvaput zapisati teorem za hipotenuzu: prvi za trokut na licu, drugi za onaj koji sadrži željenu dijagonalu.

h² = a² + a², gdje je x dijagonala kvadrata.

d² = x² + a² = a² + a² + a² = 3 a². Iz ovog zapisa lako je vidjeti kako se dobiva formula za dijagonalu. I onda će svi izračuni biti, kao u prvoj metodi. To je malo duže, ali vam dopušta da ne zapamtite formulu, već da je sami nabavite.

odgovor: dijagonalna kocka jednaka je 10 cm.

Drugi uvjet. Za poznatu površinu, koja je jednaka 54 cm2, izračunajte volumen kocke.

Odluka.

Koristeći formulu ispod drugog broja, morate znati vrijednost ruba kocke. Kako se to radi detaljno je opisano u prvoj metodi rješavanja prethodnog problema. Nakon svih izračuna dobijamo da je a = 3 cm.

Sada trebate koristiti formulu za volumen kocke, u kojoj je duljina ruba podignuta na treću snagu. Prema tome, volumen će se smatrati: V = 3 ³ = 27 cm3.

Odgovor: volumen kocke je 27 cm3.

Stanje trećeg. Potrebno je pronaći rub kocke za koji je zadovoljen sljedeći uvjet. Kada se rub poveća za 9 jedinica, površina cijele površine povećava se za 594.

Odluka.

Budući da u problemu nema eksplicitnih brojeva, samo razlika između onoga što je bilo i što je postalo, tada bi trebalo uvesti dodatne oznake. Lako je. Neka željena vrijednost bude jednaka "a". Tada će povećani rub kocke biti (a + 9).

Znajući to, potrebno je dvaput napisati formulu za površinu kocke. Prvi - za početnu vrijednost ruba - podudara se s onim označenim brojem 2. Drugi će se neznatno razlikovati. U njemu umjesto "a" trebate zapisati iznos (+ 9). Budući da se problem bavi razlikom područja, potrebno je oduzeti manju površinu od većeg područja:

6 * (a + 9) ² - 6 * a ² = 594.

Potrebno je izvršiti transformaciju. Prvo, stavite 6 u lijevom dijelu jednakosti, a zatim pojednostavite ono što ostaje u zagradama. Naime (a + 9) ² - a ² . Ovdje je razlika kvadrata, koja se može pretvoriti kako slijedi: (a + 9 - a) (a + 9 + a). Nakon pojednostavljenja izraza, dobivamo 9 (2a + 9).

Sada ga treba pomnožiti sa 6, to jest brojem koji je bio prije zagrada, i izjednačiti s 594: 54 (2a + 9) = 594. linearna jednadžba s jednom nepoznatom. Lako ga je riješiti. Prvo morate otvoriti zagrade, a zatim pomaknuti dodatak s nepoznatom vrijednosti na lijevu stranu jednadžbe, a brojeve na desnu stranu. Jednadžba će ispasti: 2a = 2. Iz nje se vidi da je tražena veličina jednaka 1.

Odgovor: a = 1.